系数a决定了抛物线的开合方向。当a大于0时,抛物线开口向上;当a小于0时,抛物线开口向下。a的绝对值越大,抛物线越窄；系数b对抛物线的对称轴产生影响。

二次函数的图像与系数的关系

1、a的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a∣越大，抛物线的张口越小。

2、b的作用：b和a与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关；

b与a同号，说明，则对称轴在y轴的左边；

b与a异号，说明，则对称轴在y轴的右边。（左同右异）

3、c的作用：c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标．抛物线与y轴的交点（0，c）；

c > 0 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；

c < 0 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴；

特别的，c = 0，抛物线过原点。

4、a,b,c共同决定判别式的符号进而决定图象与x轴的交点；

大于0与x轴两个交点，等于0与x轴一个交点；小于0与x轴没有交点。

抛物线的图像与坐标轴的交点

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x2-x1|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|（A为其中一点的横坐标）。

当△=0，图象与x轴只有一个交点；

当△<0，图象与x轴没有交点。当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

二次函数的最大值或最小值怎么求

二次函数y=ax²+bx+c=a(x+b/2a)²+c-b²/(4a)，（a≠0)。

当a＞0时二次函数图像开口向上，其有最小值。

当x=-b/2a时，y最小=c-b²/(4a)=(4ac-b²)/(4a)。

当a＜0时二次函数图像开口向下，其有最大值。

当x=-b/2a时，y最大=c-b²/(4a)=(4ac-b²)/(4a)。

极值可以是函数最大值，也可以是函数最小值，要根据函数图像开口向下还是向上而定。

二次函数的性质

1、二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

2、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上;当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小;|a|越小，则抛物线的开口越大。

3、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧。