平面向量基本定理主要应用于平面向量运算，它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。

平面向量的基本定理是什么

首先，平面向量基本定理表明，对于任何平面内的向量，存在两个不共线的向量，使得任何向量都可以用它们的线性组合来表示。这个定理有两个关键点：一个是存在性，即存在两个不共线的向量；另一个是线性组合，即任何向量都可以用这两个向量的线性组合来表示。

在证明平面向量基本定理时，通常采用反证法。假设存在两个不共线的向量，设为v和w，那么对于任意一个向量a，假设它与v和w共线，即存在实数k和l，使得a=kv+lw。将k和l代入，得到a=k(v+w)+lw-kw，因此a也可以表示为v+w和w的线性组合。这与假设矛盾，因此不存在三个不共线的向量，使得任意向量都可以用它们的线性组合来表示。

向量共线的判定定理和性质定理

(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一实数λ，使得b＝λa，则向量b与a共线。

(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。

向量a平行向量b的公式

向量a平行向量b的公式：a//b→a×b=xn-ym=0。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。若a=(x，y)，b=(m，n)，则a//b→a×b=xn-ym=0。

对于两个向量a（向量a≠向量0），向量b，当有一个实数λ，使向量b=λ向量a（记住向量是有方向的）则向量a‖向量b。反之，当向量a‖向量b时，有且只有一个实数λ，能使向量b=λ向量a；当向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)时，当x1y2=x2y1时，向量a‖向量b，反之也成立。

经典例题

（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则AC⋅CD的值为？

（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？

解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。

（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。