函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是{0}且f（x）=C其中C是常数，则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）。

反函数的三个基本性质

（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是{0}且f（x）=C（其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

反函数的定义

一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=（y）。若对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作x=f^-1（y）。反函数y=f^-1（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域。

说明：⑴在函数x=f^-1（y）中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1（y）中的字母x,y，把它改写成y=f^-1（x），今后凡无特别说明，函数y=f（x）的反函数都采用这种经过改写的形式。

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f（x）来说，不一定有反函数，若函数y=f（x）有反函数y=f^-1（x），那么函数y=f^-1（x）的反函数就是y=f（x），这就是说，函数y=f（x）与y=f^-1（x）互为反函数。

⑶从映射的定义可知，函数y=f（x）是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1（x）是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f（x）的定义域正好是它的反函数y=f^-1（x）的值域；函数y=f（x）的值域正好是它的反函数y=f^-1（x）的定义域。

例题解析

y=2x+1的反函数是什么？

y=2x+1的反函数是y=log2（x-1）

解析：

由y=2x+1得x=log2（y-1）且y＞1；

即：y=log2（x-1），x＞1；

所以函数y=2x+1的反函数是y=log2（x-1）（x＞1）；

故答案为：y=log2（x-1）（x＞1）。