函数的定义是映射定义过来的，函数的两要素是表达式和定义域。函数通俗的来讲就是将原来定义函数的映射反过来，原函数的定义域变成值域，原函数的值域变成定义域进行新的映射，反函数的定义域就是原来函数的值域。

反函数的定义及性质

定义：一般来说，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，若找得到一个函数g（y）在每一处g（y）都等于x，这样的函数x=g（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作x=f-1（y）。反函数x=f-1（y）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

性质：

1、函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。

2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

3、大部分偶函数不存在反函数。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

4、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。

5、严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。

6、反函数是相互的且具有唯一性。

7、定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。

8、反函数的导数关系：如果x=f（y）在开区间I上严格单调，可导，且f‘（y）≠0，那么它的反函数y=f-1（x）在区间S={x|x=f（y），y∈I}内也可导。

9、y=x的反函数是它本身。

反函数和原函数之间的关系

1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。

2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。

3、原函数假设是奇函数，那么其反函数为奇函数。

4、假设函数是单调函数，那么一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。

5、原函数与反函数的图像假设有交点，那么交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。

反函数存在的条件

1、函数必须是一对一的，也就是说，对于每一个输入值，函数只能有一个输出值。这意味着函数不能有重复的输出值，否则它就不是一对一的。

2、函数必须具有可导性。这意味着函数必须具有可导的单调性，也就是说，函数的导数必须在其定义域内单调递增或递减。

3、反函数的输入和输出必须是相互独立的。这意味着反函数的输出不能决定输入的值，而输入的值也不能决定输出的值。