在同圆或等圆内，三角形的三个顶点均在同一个圆上的三角形叫做圆内接三角形。在同圆内，等边三角形将圆分成相等的三段弧，三角形的三个顶点为圆的三等分点。三角形的一个角，等于它所对的边与圆心相连所形成的夹角的一半。

圆的内接三角形性质

1、内接三角形的三条边都是圆的切线：三角形的每条边都与圆相切，因此它们都是圆的切线。

2、内接三角形的内角和为180度：根据三角形的性质，内接三角形的三个内角之和等于180度。

3、内接角等于其对应的弧的一半：内接三角形的每个内角对应于圆上的一条弧，该内角等于其对应弧的一半。这是因为在同一个圆上，弧所对应的圆心角是固定的，而圆心角的大小是弧所对应的内角的两倍。

内接圆圆心是角平分线交点。内接圆即内切圆，与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。

一个多边形至多有一个内切圆，也就是说对于一个多边形，它的内切圆，如果存在的话，是唯一的。并非所有的多边形都有内切圆。三角形和正多边形一定有内切圆。拥有内切圆的四边形被称为圆外切四边形。

圆内接四边形判定定理

1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆；

2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆；

3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆；

4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆；

5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆；

6、相交弦定理的逆定理。

圆的性质

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

圆周角和圆心角的性质和定理

①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。